箱の中にAが5枚、Bが3枚、Cが2枚の合計10枚のカードが入っている。この箱から3回カードを1枚ずつ取り出す試行について、以下の2つの場合の確率を求める問題。 (1) 取り出したカードを毎回箱に戻す場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。 (2) 取り出したカードを箱に戻さない場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

1. 問題の内容

箱の中にAが5枚、Bが3枚、Cが2枚の合計10枚のカードが入っている。この箱から3回カードを1枚ずつ取り出す試行について、以下の2つの場合の確率を求める問題。

(1) 取り出したカードを毎回箱に戻す場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

2. 解き方の手順

(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合

1回目と3回目のカードが一致するのは、(A, *, A), (B, *, B), (C, *, C)のいずれかの場合である。ここで、*は2回目のカードを表し、A, B, Cのいずれでも良い。

各文字が出る確率は、

$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$P(B) = \frac{3}{10}$

$P(C) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

したがって、1回目と3回目がAである確率は $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

1回目と3回目がBである確率は $(\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$

1回目と3回目がCである確率は $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25} = \frac{4}{100}$

求める確率はこれらの和であるから、

$\frac{1}{4} + \frac{9}{100} + \frac{4}{100} = \frac{25}{100} + \frac{9}{100} + \frac{4}{100} = \frac{38}{100} = \frac{19}{50}$

(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合

1回目と3回目のカードが一致するのは、(A, *, A), (B, *, B), (C, *, C)のいずれかの場合である。

(A, *, A)の場合:

1回目にAを取り出す確率は $\frac{5}{10}$。

2回目にAを取り出す確率は $\frac{4}{9}$。

2回目にBを取り出す確率は $\frac{3}{9}$。

2回目にCを取り出す確率は $\frac{2}{9}$。

3回目にAを取り出す確率は、2回目にAを取り出した場合は $\frac{4}{8}$、Bを取り出した場合は $\frac{4}{8}$、Cを取り出した場合は $\frac{4}{8}$。

よって確率は、 $\frac{5}{10} \times (\frac{4}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9}) \times \frac{4}{8} = \frac{5}{10} \times \frac{9}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{10} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(B, *, B)の場合:

1回目にBを取り出す確率は $\frac{3}{10}$。

2回目にAを取り出す確率は $\frac{5}{9}$。

2回目にBを取り出す確率は $\frac{2}{9}$。

2回目にCを取り出す確率は $\frac{2}{9}$。

3回目にBを取り出す確率は、2回目にAを取り出した場合は $\frac{2}{8}$、Bを取り出した場合は $\frac{2}{8}$、Cを取り出した場合は $\frac{2}{8}$。

よって確率は、 $\frac{3}{10} \times (\frac{5}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9}) \times \frac{2}{8} = \frac{3}{10} \times \frac{9}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{40}$

(C, *, C)の場合:

1回目にCを取り出す確率は $\frac{2}{10}$。

2回目にAを取り出す確率は $\frac{5}{9}$。

2回目にBを取り出す確率は $\frac{3}{9}$。

2回目にCを取り出す確率は $\frac{1}{9}$。

3回目にCを取り出す確率は、2回目にAを取り出した場合は $\frac{1}{8}$、Bを取り出した場合は $\frac{1}{8}$、Cを取り出した場合は $\frac{1}{8}$。

よって確率は、 $\frac{2}{10} \times (\frac{5}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9}) \times \frac{1}{8} = \frac{2}{10} \times \frac{9}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{2}{10} \times 1 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{40}$

求める確率はこれらの和であるから、

$\frac{1}{4} + \frac{3}{40} + \frac{1}{40} = \frac{10}{40} + \frac{3}{40} + \frac{1}{40} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{50}$

(2) $\frac{7}{20}$