(1) $y = \int_{0}^{x} 3e^t \sin t \, dt$ を $x$ について微分したとき、$y' = A e^x \sin x$ となる $A$ を求める。 (2) $F(x) = \int_{0}^{x} (x-t) \sin t \, dt$ を $x$ について微分したとき、$F'(x) = A - \cos x$ となる $A$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $y = \int_{0}^{x} 3e^t \sin t \, dt$ を $x$ について微分したとき、$y' = A e^x \sin x$ となる $A$ を求める。

(2) $F(x) = \int_{0}^{x} (x-t) \sin t \, dt$ を $x$ について微分したとき、$F'(x) = A - \cos x$ となる $A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分積分学の基本定理より、

$y' = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} 3e^t \sin t \, dt = 3e^x \sin x$

したがって、$A = 3$

(2) まず、$F(x)$ を展開する。

$F(x) = \int_{0}^{x} (x \sin t - t \sin t) \, dt = x \int_{0}^{x} \sin t \, dt - \int_{0}^{x} t \sin t \, dt$

ここで、$\int \sin t \, dt = -\cos t + C$ なので、

$\int_{0}^{x} \sin t \, dt = [-\cos t]_{0}^{x} = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1$

また、部分積分を用いて $\int t \sin t \, dt$ を計算する。

$u = t, dv = \sin t \, dt$ とすると、$du = dt, v = -\cos t$

$\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \int \cos t \, dt = -t \cos t + \sin t + C$

したがって、$\int_{0}^{x} t \sin t \, dt = [-t \cos t + \sin t]_{0}^{x} = -x \cos x + \sin x - (0 + 0) = -x \cos x + \sin x$

よって、

$F(x) = x(1-\cos x) - (\sin x - x \cos x) = x - x \cos x - \sin x + x \cos x = x - \sin x$

$F'(x) = \frac{d}{dx} (x - \sin x) = 1 - \cos x$

したがって、$A = 1$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1