区分求積法を用いて、極限 $S = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{n+n})$ の値を求め、その値を対数 $\log$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

区分求積法を用いて、極限 $S = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{n+n})$ の値を求め、その値を対数 $\log$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ をシグマ記号で書き換えます。

$S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

次に、$\frac{1}{n}$ でくくり出します。

$S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{k}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$

これは区分求積法の形になっているので、積分で表現できます。

$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$

不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{1+x} dx = \log(1+x) + C$

定積分を計算します。

$S = \left[ \log(1+x) \right]_{0}^{1} = \log(1+1) - \log(1+0) = \log(2) - \log(1) = \log(2) - 0 = \log(2)$

3. 最終的な答え

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