行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、 $A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...) が成り立つことを数学的帰納法で示す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、

$A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...)

が成り立つことを数学的帰納法で示す。

2. 解き方の手順

(1) n = 1のとき

左辺： $A^1 = A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

右辺：$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^1 + 2^1 & 4^1 - 2^1 \\ 4^1 - 2^1 & 4^1 + 2^1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

よって、左辺 = 右辺となるので、n = 1のとき等式は成り立つ。

(2) n = kのとき

$A^k = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^k + 2^k & 4^k - 2^k \\ 4^k - 2^k & 4^k + 2^k \end{pmatrix}$ が成り立つと仮定する。

(3) n = k + 1のとき

左辺：$A^{k+1} = A^k A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^k + 2^k & 4^k - 2^k \\ 4^k - 2^k & 4^k + 2^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (4^k + 2^k) \cdot 3 + (4^k - 2^k) \cdot 1 & (4^k + 2^k) \cdot 1 + (4^k - 2^k) \cdot 3 \\ (4^k - 2^k) \cdot 3 + (4^k + 2^k) \cdot 1 & (4^k - 2^k) \cdot 1 + (4^k + 2^k) \cdot 3 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \cdot 4^k + 2 \cdot 2^k & 4 \cdot 4^k - 2 \cdot 2^k \\ 4 \cdot 4^k - 2 \cdot 2^k & 4 \cdot 4^k + 2 \cdot 2^k \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$

右辺：$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$

よって、左辺 = 右辺となるので、n = k + 1のときも等式は成り立つ。

したがって、すべての自然数nについて等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

n = 1のとき

左辺 = $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

右辺 = $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

n = k + 1のとき

左辺 = $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$

右辺 = $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$

n = k のとき

$A^k = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^k + 2^k & 4^k - 2^k \\ 4^k - 2^k & 4^k + 2^k \end{pmatrix}$