$n$は自然数である。$\frac{n^3}{160}$が自然数となるような最小の$n$を求め、さらに$\sqrt{\frac{n^3}{160}}$が自然数となるような最小の$n$を求める。

1. 問題の内容

$n$は自然数である。$\frac{n^3}{160}$が自然数となるような最小の$n$を求め、さらに$\sqrt{\frac{n^3}{160}}$が自然数となるような最小の$n$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{n^3}{160}$が自然数となるための$n$の条件を求める。

$160 = 2^5 \cdot 5$なので、$\frac{n^3}{2^5 \cdot 5}$が自然数となるためには、$n^3$が$2^5 \cdot 5$の倍数である必要がある。

したがって、$n^3 = 2^{5+3k} \cdot 5^{1+3l}$という形になる必要がある（$k$と$l$は非負整数）。

$n$が最小となるためには、$5+3k$と$1+3l$が3の倍数となる最小の$k$と$l$を考える。

$5+3k$が3の倍数となる最小の$k$は$k=1$であり、$1+3l$が3の倍数となる最小の$l$は$l=1$である。

よって、$n^3 = 2^{5+3} \cdot 5^{1+3} = 2^8 \cdot 5^4$となり、$n = \sqrt[3]{2^8 \cdot 5^4} = 2^{8/3} \cdot 5^{4/3}$となる。

$n$は自然数なので、$n^3$は$2^6 \cdot 5^3$の倍数でなければならない。このとき$n=2^2\cdot 5=20$を代入すると、$n^3=2^6\cdot 5^3$となり$\frac{n^3}{160}= \frac{2^6\cdot 5^3}{2^5 \cdot 5}=2\cdot 5^2=50$である。

したがって、$\frac{n^3}{160}$が自然数となるような最小の$n$は$n=20$である。

次に、$\sqrt{\frac{n^3}{160}}$が自然数となる$n$を考える。$\sqrt{\frac{n^3}{160}}=\sqrt{\frac{n^3}{2^5 \cdot 5}}$なので、$\frac{n^3}{2^5 \cdot 5}$が平方数である必要がある。つまり$\frac{n^3}{2^5 \cdot 5}=m^2$($m$は自然数)とおける必要がある。

$n^3=m^2 \cdot 2^5 \cdot 5$となるので、$n^3$は、$2^5\cdot 5$を含む平方数である。

このとき、$n^3=2^{5+3k}\cdot 5^{1+3l}$かつ$\frac{n^3}{2^5\cdot 5}=m^2$でなければならないから、$5+3k$と$1+3l$は偶数でなければならない。

$5+3k$が偶数となる最小の$k$は$k=1$なので、$5+3k=8$となる。

$1+3l$が偶数となる最小の$l$は$l=1$なので、$1+3l=4$となる。

よって、$n^3=2^8\cdot 5^4$であるから、$n=\sqrt[3]{2^8\cdot 5^4}=2^{\frac{8}{3}}\cdot 5^{\frac{4}{3}}$となり、これは自然数ではない。

$n$は自然数なので、$n^3$は$2^{3a}5^{3b}$という形で、かつ$2^5\cdot 5$で割った数が平方数になる必要がある。$\sqrt{\frac{n^3}{160}} = \sqrt{\frac{n^3}{2^5 \cdot 5}} = \frac{n^{3/2}}{2^{5/2}\sqrt{5}}$が自然数となるためには、$\frac{n^3}{160} = k^2$となる自然数$k$が存在すればよい。

$n^3=160k^2=2^5\cdot 5 k^2$となる。$n$が最小であるためには$n=2^a 5^b$とおくと、$n^3 = 2^{3a}5^{3b} = 2^5\cdot 5 k^2$となるので、

$2^{3a-5}5^{3b-1}=k^2$となる必要がある。$3a-5$と$3b-1$は偶数である必要があるので、$3a-5=2x, 3b-1=2y$とおくと、$3a=2x+5, 3b=2y+1$となる。

最小の$a$は$a=3$、最小の$b$は$b=1$となるので、$n=2^3\cdot 5 = 40$となる。

$\sqrt{\frac{40^3}{160}}=\sqrt{\frac{2^9\cdot 5^3}{2^5\cdot 5}}=\sqrt{2^4\cdot 5^2}=2^2\cdot 5 = 20$。

したがって、$\sqrt{\frac{n^3}{160}}$が自然数となる最小の$n$は$40$である。

3. 最終的な答え

$\frac{n^3}{160}$が自然数となるような最小の$n$は、$20$である。

$\sqrt{\frac{n^3}{160}}$が自然数となるような最小の$n$は、$40$である。