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$\triangle ABC$ と点 $P$ が $2\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \vec{0}$ を満たすとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表す問題です。また、$\triangle PBC$ の面積は $\triangle PCA$ の面積の何倍であるかを求める問題です。

幾何学ベクトル面積比三角形内分点
2025/6/19

1. 問題の内容

△ABC\triangle ABC と点 PP が 2AP→+BP→+5CP→=0⃗2\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \vec{0} を満たすとき、AP→\overrightarrow{AP} を AB→\overrightarrow{AB} と AC→\overrightarrow{AC} を用いて表す問題です。また、△PBC\triangle PBC の面積は △PCA\triangle PCA の面積の何倍であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 2AP→+BP→+5CP→=0⃗2\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \vec{0} を変形します。
BP→=AP→−AB→\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}、CP→=AP→−AC→\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} であるから、これを代入すると、
2AP→+(AP→−AB→)+5(AP→−AC→)=0⃗2\overrightarrow{AP} + (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 5(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \vec{0}
2AP→+AP→−AB→+5AP→−5AC→=0⃗2\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AP} - 5\overrightarrow{AC} = \vec{0}
8AP→=AB→+5AC→8\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}
AP→=18AB→+58AC→\overrightarrow{AP} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC}
次に、面積比を求めます。
AP→=18AB→+58AC→\overrightarrow{AP} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC} を変形すると、
AP→=68(16AB→+56AC→)\overrightarrow{AP} = \frac{6}{8}(\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow{AC})
線分 BCBC を 5:15:1 に内分する点を DD とすると、
AD→=16AB→+56AC→\overrightarrow{AD} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow{AC}
よって、AP→=68AD→=34AD→\overrightarrow{AP} = \frac{6}{8}\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}
したがって、点 PP は線分 ADAD を 3:13:1 に内分する点です。
△ABD=56△ABC\triangle ABD = \frac{5}{6} \triangle ABC であり、△ACD=16△ABC\triangle ACD = \frac{1}{6} \triangle ABC
△ABP=34△ABD=34⋅56△ABC=58△ABC\triangle ABP = \frac{3}{4} \triangle ABD = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \triangle ABC = \frac{5}{8} \triangle ABC
△ACP=34△ACD=34⋅16△ABC=18△ABC\triangle ACP = \frac{3}{4} \triangle ACD = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} \triangle ABC = \frac{1}{8} \triangle ABC
△PBC=△ABC−△ABP−△ACP=△ABC−58△ABC−18△ABC=28△ABC=14△ABC\triangle PBC = \triangle ABC - \triangle ABP - \triangle ACP = \triangle ABC - \frac{5}{8} \triangle ABC - \frac{1}{8} \triangle ABC = \frac{2}{8} \triangle ABC = \frac{1}{4} \triangle ABC
△PBC△PCA=14△ABC18△ABC=14⋅8=2\frac{\triangle PBC}{\triangle PCA} = \frac{\frac{1}{4}\triangle ABC}{\frac{1}{8}\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2
したがって、△PBC\triangle PBC の面積は △PCA\triangle PCA の面積の 2 倍です。

3. 最終的な答え

AP→=18AB→+58AC→\overrightarrow{AP} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC}
2

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