与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数について導関数を求めます。 (4) $y = x^{\frac{1}{x}} \quad (x > 0)$ (5) $y = (\sin x)^x \quad (0 < x < \pi)$ (6) $y = (\log x)^x \quad (x > 1)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数について導関数を求めます。

(4) $y = x^{\frac{1}{x}} \quad (x > 0)$

(5) $y = (\sin x)^x \quad (0 < x < \pi)$

(6) $y = (\log x)^x \quad (x > 1)$

2. 解き方の手順

(4) $y = x^{\frac{1}{x}}$ の場合：

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} \log x) = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \log x) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x} - 2} (1 - \log x)$

(5) $y = (\sin x)^x$ の場合：

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log ((\sin x)^x) = x \log (\sin x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log (\sin x)) = \log (\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log (\sin x) + x \cot x$

$\frac{dy}{dx} = y (\log (\sin x) + x \cot x) = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $y = (\log x)^x$ の場合：

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log ((\log x)^x) = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log (\log x)) = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log (\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y (\log (\log x) + \frac{1}{\log x}) = (\log x)^x (\log (\log x) + \frac{1}{\log x})$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x} - 2} (1 - \log x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left(\log (\log x) + \frac{1}{\log x}\right)$