問題は、与えられた関数をマクローリン級数に展開し、最初の4項を求めるというものです。関数は以下の2つです。 (i) $e^{x^2}$ (ii) $\cos^2 x - \sin^2 x$

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数をマクローリン級数に展開し、最初の4項を求めるというものです。関数は以下の2つです。

(i) $e^{x^2}$

(ii) $\cos^2 x - \sin^2 x$

2. 解き方の手順

(i) $e^{x^2}$ のマクローリン展開

$e^x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

ここで、$x$ を $x^2$ で置き換えると、$e^{x^2}$ のマクローリン展開が得られます。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^4}{4!} + \cdots$

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \cdots$

最初の4項は、$1, x^2, \frac{x^4}{2}, \frac{x^6}{6}$ です。

(ii) $\cos^2 x - \sin^2 x$ のマクローリン展開

三角関数の恒等式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を用いると、与えられた関数は $\cos 2x$ となります。

$\cos x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

ここで、$x$ を $2x$ で置き換えると、$\cos 2x$ のマクローリン展開が得られます。

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots$

$\cos 2x = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \frac{64x^6}{720} + \cdots$

$\cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \cdots$

最初の4項は、$1, -2x^2, \frac{2}{3}x^4, -\frac{4}{45}x^6$ です。

3. 最終的な答え

(i) $e^{x^2}$ の最初の4項は $1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6}$ です。

(ii) $\cos^2 x - \sin^2 x$ の最初の4項は $1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{4x^6}{45}$ です。