円Oにおいて、図に示された角 $x$ と角 $y$ の大きさを求める問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

1. 問題の内容

円Oにおいて、図に示された角 $x$ と角 $y$ の大きさを求める問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

2. 解き方の手順

(1)

円周角の定理より、弧ABに対する円周角∠ACBは$55^\circ$なので、中心角∠AOBはその2倍となります。

$y = 2 \times 55^\circ = 110^\circ$

また、円周角の定理より、弧CDに対する円周角∠CADと∠CBDは等しくなります。

円周角∠CAD = ∠CBD = $x$

四角形ACBDの内角の和は360°なので、

$55^\circ + x + (180^\circ-y)+x=360^\circ$

$55^\circ + x + (180^\circ-110^\circ)+x=360^\circ$

$55^\circ + x + 70^\circ + x=360^\circ$

$2x+125^\circ=180^\circ$

$2x=360^\circ-125^\circ$

$2x = 235^\circ$

$x = 117.5^\circ$

別の方法：

$\angle CAB = 55^\circ$なので、中心角$\angle COB = 2x$

$\angle AOB = y = 110^\circ$なので、

$\angle COB+\angle AOB=360^\circ$

$\angle COA+y =360^\circ$

$\angle COA=360^\circ-\angle COD-\angle DOB-\angle AOB$

$x = \frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(360^\circ - 2(55^\circ)) = \frac{1}{2} (360^\circ-110^\circ) = \frac{250^\circ}{2} = 125^\circ$

(2)

$\triangle OAC$において、OA=OC（円の半径）なので、$\triangle OAC$は二等辺三角形である。

したがって、$\angle OCA=\angle OAC=50^\circ$

$\angle AOC=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ$

$\triangle OBD$において、OB=OD（円の半径）なので、$\triangle OBD$は二等辺三角形である。

したがって、$\angle OBD=\angle ODB=y$

$\angle BOD=180^\circ-y-y=180^\circ-2y$

円周角の定理より$\angle CAD=60^\circ$なので、$\angle COD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$

$\angle AOC+\angle COD+\angle BOD=360^\circ$

$80^\circ+120^\circ+180^\circ-2y=360^\circ$

$380^\circ - 2y = 360^\circ$

$2y = 380^\circ-360^\circ$

$2y=20^\circ$

$y=10^\circ$

$\angle ODB=y=10^\circ$

$\angle AOD=360^\circ-(\angle AOC+\angle COD)=360^\circ-(80^\circ+120^\circ) = 160^\circ$

$\angle C = x = \frac{1}{2} \angle AOD=\frac{1}{2} \times 160^\circ=80^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 55^\circ$, $y = 110^\circ$

(2)

$x = 80^\circ$, $y = 10^\circ$