与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2-4}}dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{\sqrt{-x^2-4}}dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身の平方根の中身を整理します。

$-x^2-4$は明らかに負なので、積分は$\int \frac{1}{\sqrt{-x^2-4}}dx$ではなく$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$と解釈します。

この積分は逆三角関数の公式を用いて計算できます。具体的には、以下の公式を使います。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$

この公式に当てはめると、$a^2 = 4$なので、$a = 2$となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}dx = \arcsin(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{x}{2}) + C$