実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で与えられているとき、以下の問いに答えます。 (1) $\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を1つ求めます。 (2) $\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めます。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で与えられているとき、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を1つ求めます。

(2) $\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ を3乗します。

$\alpha^3 = (\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}})^3$

$\alpha^3 = (2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}) + 3(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}})^2 (\sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}) + 3(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}) (\sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}})^2 + (2 - \frac{10\sqrt{3}}{9})$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} (\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}})$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4 - \frac{100 \cdot 3}{81}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4 - \frac{100}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{108 - 100}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3 \cdot \frac{2}{3} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

よって、$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式は $x^3 - 2x - 4 = 0$ です。

(2) (1) で求めた方程式 $x^3 - 2x - 4 = 0$ の解を考えます。

$f(x) = x^3 - 2x - 4$ とすると、$f(0) = -4$, $f(1) = 1 - 2 - 4 = -5$, $f(2) = 8 - 4 - 4 = 0$ となります。

よって、$x=2$ はこの方程式の解です。

したがって、$\alpha = 2$ となります。

なぜなら、$x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2 + 2x + 2) = 0$ であり、$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$ なので、$x=2$ のみが実数解だからです。

よって、$\alpha$ は整数であり、$\alpha = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^3 - 2x - 4 = 0$

(2) $\alpha = 2$