2次関数 $y = -2x^2 + 4ax + a^2 + 1$ (定義域 $0 \le x \le 2$) が、$x=0$ で最大値をとるような定数 $a$ の値を、選択肢 P: $-\frac{2}{3}$, イ: $\frac{1}{3}$, ウ: $\frac{4}{3}$, エ: $\frac{7}{3}$ の中からすべて選び、記号で答える。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4ax + a^2 + 1$ (定義域 $0 \le x \le 2$) が、$x=0$ で最大値をとるような定数 $a$ の値を、選択肢 P: $-\frac{2}{3}$, イ: $\frac{1}{3}$, ウ: $\frac{4}{3}$, エ: $\frac{7}{3}$ の中からすべて選び、記号で答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -2x^2 + 4ax + a^2 + 1 \\

&= -2(x^2 - 2ax) + a^2 + 1 \\

&= -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + a^2 + 1 \\

&= -2(x - a)^2 + 2a^2 + a^2 + 1 \\

&= -2(x - a)^2 + 3a^2 + 1

\end{align*}

この2次関数のグラフは、頂点が $(a, 3a^2 + 1)$ の上に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$x=0$ で最大値をとるためには、軸 $x=a$ の位置によって場合分けが必要です。

(i) $a \le 0$ のとき: $x=0$ が定義域の右端であるため、 $x=0$ で最大値をとります。

(ii) $0 < a < 2$ のとき: 頂点 $x=a$ が定義域内にあるので、$a$ と $0$, $2$ の距離を比較する必要があります。$x=0$ で最大値をとるためには、$0$ から軸までの距離が $2$ から軸までの距離よりも近い必要があります。つまり、$a-0 \le 2-a$である必要があります。これは$2a \le 2$、すなわち$a \le 1$を意味します。したがって、$0<a \le 1$ です。

(iii) $a \ge 2$ のとき: $x=2$ が定義域の左端であるため、$x=0$で最大値を取ることはありません。$x=2$が最大値になります。

したがって、 $x=0$で最大値を取るためには、$a \le 1$である必要があります。

選択肢の中から $a \le 1$ を満たすものを探すと、

P: $a = -\frac{2}{3} \le 1$

イ: $a = \frac{1}{3} \le 1$

ウ: $a = \frac{4}{3} > 1$

エ: $a = \frac{7}{3} > 1$

となるので、Pとイが条件を満たします。

3. 最終的な答え

P, イ