実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で定義されるとき、$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を求める。そして、$\alpha$ を3乗すると解が求まる理由を説明する。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ が $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ で定義されるとき、$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式を求める。そして、$\alpha$ を3乗すると解が求まる理由を説明する。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ を3乗することを考える。

$(\alpha)^3 = \left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)^3$

3乗の公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ を用いると、

$\alpha^3 = \left(2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}\right) + \left(2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}\right) + 3\sqrt[3]{\left(2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)\left(2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}\right)} \left(\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}\right)$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4 - \frac{100 \cdot 3}{81}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4 - \frac{100}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{108-100}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3\left(\frac{2}{3}\right) \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 2\alpha$

したがって、

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

これは整数係数の3次方程式である。

$\alpha$を3乗すると解が求まる理由:

$\alpha$を3乗することによって、$\alpha$を含む項と数値のみの項に分離でき、結果として$\alpha$に関する3次方程式を得ることができる。

元の$\alpha$の定義式には3乗根が含まれているため、3乗することでこれらの根号を取り除き、$\alpha$自身を含む項と定数項のみの関係式を導くことができる。

この関係式を整理することで、$\alpha$を解にもつ多項式が得られる。

3. 最終的な答え

$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式は $\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$ である。

$\alpha$ を3乗すると解が求まる理由は、3乗根を消去し、$\alpha$自身を含む項と定数項のみの関係式を導くことができるから。