問題は、掃き出し法を用いて、以下の連立一次方程式を解くことです。 (1) $3x + y + z = 6$ $2x + 2y + z = 3$ $2x + y + 3z = 6$ (2) $x + 3y + 2z = -3$ $-4x + 2y - 6z = 3$ $-2x + 4y - 4z = 1$

1. 問題の内容

問題は、掃き出し法を用いて、以下の連立一次方程式を解くことです。

(1)

$3x + y + z = 6$

$2x + 2y + z = 3$

$2x + y + 3z = 6$

(2)

$x + 3y + 2z = -3$

$-4x + 2y - 6z = 3$

$-2x + 4y - 4z = 1$

2. 解き方の手順

(1) の連立一次方程式を行列で表し、掃き出し法で解きます。

係数行列と定数項ベクトルを合わせた拡大係数行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix}

3 & 1 & 1 & 6 \\

2 & 2 & 1 & 3 \\

2 & 1 & 3 & 6

\end{pmatrix}$

まず、1行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 2 \\

2 & 2 & 1 & 3 \\

2 & 1 & 3 & 6

\end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 2 \\

0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & -1 \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 2

\end{pmatrix}$

次に、2行目を3/4倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 2 \\

0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 2

\end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目の1/3倍を引きます。3行目から2行目の1/3倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{9}{4} \\

0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\

0 & 0 & \frac{9}{4} & \frac{9}{4}

\end{pmatrix}$

次に、3行目を4/9倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{9}{4} \\

0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

次に、1行目から3行目の1/4倍を引きます。2行目から3行目の1/4倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

よって、$x = 2, y = -1, z = 1$

(2)の連立一次方程式を行列で表し、掃き出し法で解きます。

係数行列と定数項ベクトルを合わせた拡大係数行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & 2 & -3 \\

-4 & 2 & -6 & 3 \\

-2 & 4 & -4 & 1

\end{pmatrix}$

次に、2行目に1行目の4倍を足します。3行目に1行目の2倍を足します。

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & 2 & -3 \\

0 & 14 & 2 & -9 \\

0 & 10 & 0 & -5

\end{pmatrix}$

次に、3行目を10で割ります。

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & 2 & -3 \\

0 & 14 & 2 & -9 \\

0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & 2 & -3 \\

0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\

0 & 14 & 2 & -9

\end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目の3倍を引きます。3行目から2行目の14倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 & -\frac{3}{2} \\

0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 2 & -2

\end{pmatrix}$

次に、3行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 & -\frac{3}{2} \\

0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

次に、1行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\

0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

よって、$x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, y = -1, z = 1$

(2) $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = -1$