与えられた2次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値・最小値を求めます。

1. 平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

2. 指定された範囲内で、頂点を含むかどうかを確認します。

3. 範囲の端点と頂点における関数の値を計算します。

4. 計算した値の中で、最も大きいものが最大値、最も小さいものが最小値となります。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

1. $y = (x + 1)^2 + 2$

頂点: $(-1, 2)$

2. 頂点は範囲内にある。

3. $x = -2$ のとき $y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x = 2$ のとき $y = (2)^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

$x = -1$ のとき $y = (-1 + 1)^2 + 2 = 2$

4. 最大値: 11, 最小値: 2

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

1. $y = -(x - 2)^2 + 1$

頂点: $(2, 1)$

2. 頂点は範囲内にある。

3. $x = 0$ のとき $y = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$

$x = 3$ のとき $y = -(3)^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$

$x = 2$ のとき $y = -(2 - 2)^2 + 1 = 1$

4. 最大値: 1, 最小値: -3

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

1. $y = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点: $(-1, -4)$

2. 頂点は範囲外にある。

3. $x = 1$ のとき $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

4. 最大値: 44, 最小値: 8

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

1. $y = -2(x - 3)^2 + 18$

頂点: $(3, 18)$

2. 頂点は範囲内にある。

3. $x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$

$x = 6$ のとき $y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$

$x = 3$ のとき $y = -2(3 - 3)^2 + 18 = 18$

4. 最大値: 18, 最小値: 0

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11, 最小値: 2

(2) 最大値: 1, 最小値: -3

(3) 最大値: 44, 最小値: 8

(4) 最大値: 18, 最小値: 0