与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることによって計算する問題です。ただし、サラスの公式は使えません。 行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることによって計算する問題です。ただし、サラスの公式は使えません。

行列は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を行基本変形によって上三角行列に変形します。このとき、行列式の値は行の入れ替えで符号が反転し、ある行を定数倍すると行列式も定数倍されることに注意します。

1. 2行目から1行目の2倍を引きます（2行目を2行目 - 2 * 1行目に置き換えます）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 3行目に1行目を足します（3行目を3行目 + 1行目に置き換えます）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

3. 4行目から1行目の3倍を引きます（4行目を4行目 - 3 * 1行目に置き換えます）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

4. 3行目から2行目の5倍を引きます（3行目を3行目 - 5 * 2行目に置き換えます）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

5. 4行目から2行目の2倍を引きます（4行目を4行目 - 2 * 2行目に置き換えます）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$$

6. 4行目から3行目の(-4/-19)倍を引きます。（4行目を4行目 - (-4/-19)*3行目に置き換えます。）つまり、4行目を4行目 - (4/19)*3行目に置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - (-4/19)*(-12)

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - (48/19)

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -124/19

\end{vmatrix}

$$

対角成分は1, 1, -19, -124/19です。

したがって、行列式は

$1 \times 1 \times (-19) \times (-124/19) = 124$

3. 最終的な答え

124