与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて上三角行列に変形し、対角成分の積を求めることで計算する。ただし、サラスの方法は使ってはならない。与えられた行列は以下である。 $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて上三角行列に変形し、対角成分の積を求めることで計算する。ただし、サラスの方法は使ってはならない。与えられた行列は以下である。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、行基本変形を用いて行列を上三角行列に変形する。

1行目を基準に、2行目、3行目、4行目の1列目の成分を0にする。

* 2行目を ($2$行目 - $2$ $\times$ $1$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

* 3行目を ($3$行目 + $1$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

* 4行目を ($4$行目 - $3$ $\times$ $1$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

次に、2行目を基準に、3行目、4行目の2列目の成分を0にする。

* 3行目を ($3$行目 - $5$ $\times$ $2$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

* 4行目を ($4$行目 - $2$ $\times$ $2$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}

$$

最後に、3行目を基準に、4行目の3列目の成分を0にする。

* 4行目を ($4$行目 - $(\frac{-4}{-19})$ $\times$ $3$行目) で置き換える。

つまり($4$行目 - $(\frac{4}{19})$ $\times$ $3$行目) で置き換える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - (\frac{4}{19}) \times (-12)

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & \frac{-76+48}{19}

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & \frac{-28}{19}

\end{pmatrix}

$$

上三角行列になったので、対角成分の積を計算する。

$1 \times 1 \times (-19) \times (\frac{-28}{19}) = 28$

3. 最終的な答え

28