与えられた3つの行列の階数をそれぞれ求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 6 \\ 3 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 3 & 7 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の階数をそれぞれ求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 6 \\ 3 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 7 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 6 \\ 3 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ について:

行基本変形を行い、階段行列に変形します。

まず、3行目を1行目と入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 3 & 9 \\ 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

次に、2行目を「2行目 - 3 * 1行目」、3行目を「3行目 - 4 * 1行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -7 & -14 \end{pmatrix}$

次に、2行目を -1/3 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -7 & -14 \end{pmatrix}$

次に、3行目を「3行目 + 7 * 2行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行の数は2です。したがって、階数は2です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 7 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ について:

行基本変形を行い、階段行列に変形します。

1行目を1/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 7/3 & 2 & 2/3 \\ 2 & 5 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

2行目を「2行目 - 2 * 1行目」、3行目を「3行目 - 3 * 1行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 7/3 & 2 & 2/3 \\ 0 & 1/3 & 1 & -1/3 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

2行目を3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 7/3 & 2 & 2/3 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

3行目を「3行目 + 2行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 7/3 & 2 & 2/3 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行の数は3です。したがって、階数は3です。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ について:

行基本変形を行い、階段行列に変形します。

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

次に、2行目を「2行目 - 3 * 1行目」、3行目を「3行目 - 2 * 1行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -4 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、2行目を -1/4 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、3行目を「3行目 + 2 * 2行目」で置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行の数は2です。したがって、階数は2です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 2