与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使えません。 与えられた行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使えません。

与えられた行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行基本変形を用いて、与えられた行列を上三角行列に変形します。上三角行列の行列式は、対角成分の積で計算できます。

(1) 第2行から第1行の2倍を引きます（第2行 ← 第2行 - 第1行 x 2）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

(2) 第3行に第1行を加えます（第3行 ← 第3行 + 第1行）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

(3) 第4行から第1行の3倍を引きます（第4行 ← 第4行 - 第1行 x 3）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

(4) 第3行から第2行の5倍を引きます（第3行 ← 第3行 - 第2行 x 5）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

(5) 第4行から第2行の2倍を引きます（第4行 ← 第4行 - 第2行 x 2）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{vmatrix}$

(6) 第4行から第3行の -4/19 倍を引きます（第4行 ← 第4行 - 第3行 x (-4/19)）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -4 - (-12) * (-4/19) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -4 - 48/19 \end{vmatrix}$

$-4 - \frac{48}{19} = \frac{-76 - 48}{19} = \frac{-124}{19}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -124/19 \end{vmatrix}$

行列式は対角成分の積なので、

$1 \times 1 \times (-19) \times \frac{-124}{19} = 124$

3. 最終的な答え

124