与えられた分数の式を簡略化します。式は次の通りです。 $\frac{x - \frac{3}{x-2}}{x+2 + \frac{3}{x-2}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡略化します。式は次の通りです。

$\frac{x - \frac{3}{x-2}}{x+2 + \frac{3}{x-2}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ簡略化します。

分子：

$x - \frac{3}{x-2} = \frac{x(x-2)}{x-2} - \frac{3}{x-2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{x-2}$

分母：

$x+2 + \frac{3}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{3}{x-2} = \frac{x^2 - 4 + 3}{x-2} = \frac{x^2 - 1}{x-2}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{\frac{x^2 - 2x - 3}{x-2}}{\frac{x^2 - 1}{x-2}} = \frac{x^2 - 2x - 3}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$

次に、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

$x+1$ で約分すると、次のようになります。

$\frac{x-3}{x-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-3}{x-1}$