実数 $\alpha$ が次のように定義されています。 $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ $\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めなさい。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ が次のように定義されています。

$\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$

$\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ を3乗してみます。

$\alpha^3 = \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ の公式を利用します。

$a = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}}$, $b = \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ とすると、

$\alpha^3 = \left( 2 + \frac{10\sqrt{3}}{9} \right) + \left( 2 - \frac{10\sqrt{3}}{9} \right) + 3 \sqrt[3]{ \left( 2 + \frac{10\sqrt{3}}{9} \right) \left( 2 - \frac{10\sqrt{3}}{9} \right) } \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)$

$\alpha^3 = 4 + 3 \sqrt[3]{ 4 - \frac{100 \cdot 3}{81} } \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3 \sqrt[3]{ 4 - \frac{100}{27} } \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3 \sqrt[3]{ \frac{108 - 100}{27} } \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3 \sqrt[3]{ \frac{8}{27} } \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 3 \cdot \frac{2}{3} \alpha$

$\alpha^3 = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

$\alpha = 2$ を代入すると、$2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$ となり、$\alpha = 2$ はこの方程式の解です。

$\alpha^3 - 2\alpha - 4$ を $(\alpha - 2)$ で割ると、$\alpha^2 + 2\alpha + 2$ となります。

$\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ の解は、$\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$ となり、実数解ではありません。

したがって、$\alpha = 2$ が唯一の実数解となります。

3. 最終的な答え

$\alpha = 2$

$\alpha$ は整数であり、その値は2です。