実数 $\alpha$ が、 $\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ によって定義されるとき、$\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求める。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ が、

$\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$

によって定義されるとき、$\alpha$ が整数であることを示し、その整数を求める。

2. 解き方の手順

$\alpha = \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}}$ とおく。

両辺を3乗する。

$\alpha^3 = \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)^3$

$\alpha^3 = \left( 2 + \frac{10\sqrt{3}}{9} \right) + 3 \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)^2 \left( \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right) + 3 \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right) \left( \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)^2 + \left( 2 - \frac{10\sqrt{3}}{9} \right)$

$\alpha^3 = 4 + 3 \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \left( \sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} \right)$

ここで、$\sqrt[3]{2 + \frac{10\sqrt{3}}{9}} \sqrt[3]{2 - \frac{10\sqrt{3}}{9}} = \sqrt[3]{4 - \frac{100 \cdot 3}{81}} = \sqrt[3]{4 - \frac{100}{27}} = \sqrt[3]{\frac{108-100}{27}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\alpha^3 = 4 + 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \alpha = 4 + 2\alpha$

$\alpha^3 - 2\alpha - 4 = 0$

$(\alpha - 2)(\alpha^2 + 2\alpha + 2) = 0$

$\alpha = 2$ または $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$

$\alpha^2 + 2\alpha + 2 = (\alpha + 1)^2 + 1 = 0$ より、$\alpha = -1 \pm i$

$\alpha$ は実数なので、$\alpha = 2$

3. 最終的な答え

$\alpha = 2$