$m$を定数として、2次方程式 $-2x^2 + 4mx + m - 3 = 0$ の実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

$m$を定数として、2次方程式 $-2x^2 + 4mx + m - 3 = 0$ の実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $-2x^2 + 4mx + m - 3 = 0$ の実数解の個数は、判別式$D$の符号によって決まる。

まず、与式を整理して、

$2x^2 - 4mx - m + 3 = 0$とする。

この2次方程式の判別式$D$は

$D = (-4m)^2 - 4(2)(-m+3)$

$= 16m^2 + 8m - 24$

$= 8(2m^2 + m - 3)$

$= 8(2m+3)(m-1)$

実数解の個数は

$D > 0$ のとき2個

$D = 0$ のとき1個

$D < 0$ のとき0個

である。

$D = 8(2m+3)(m-1)$ より、

$D > 0$のとき $(2m+3)(m-1) > 0$。したがって $m < -\frac{3}{2}$ または $m > 1$ のとき、実数解は2個。

$D = 0$のとき $(2m+3)(m-1) = 0$。したがって $m = -\frac{3}{2}$ または $m = 1$ のとき、実数解は1個。

$D < 0$のとき $(2m+3)(m-1) < 0$。したがって $-\frac{3}{2} < m < 1$ のとき、実数解は0個。

3. 最終的な答え

$m < -\frac{3}{2}$ または $m > 1$ のとき、実数解は2個。

$m = -\frac{3}{2}$ または $m = 1$ のとき、実数解は1個。

$-\frac{3}{2} < m < 1$ のとき、実数解は0個。