3つの問題があります。 (1) 1591と1517の最大公約数を求めよ。 (2) aとbが互いに素な自然数であるとき、5a+12bと3a+7bの最大公約数を求めよ。 (3) nは7で割ると4余る整数であるとき、$n^{2034}$を7で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) 1591と1517の最大公約数を求めよ。

(2) aとbが互いに素な自然数であるとき、5a+12bと3a+7bの最大公約数を求めよ。

(3) nは7で割ると4余る整数であるとき、$n^{2034}$を7で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ユークリッドの互除法を用いて、1591と1517の最大公約数を求めます。

$1591 = 1517 \times 1 + 74$

$1517 = 74 \times 20 + 37$

$74 = 37 \times 2 + 0$

よって、1591と1517の最大公約数は37です。

(2) 5a+12bと3a+7bの最大公約数をdとします。

dは$5a+12b$と$3a+7b$の線形結合も割り切ります。

$7(5a+12b) - 12(3a+7b) = 35a+84b-36a-84b = -a$

$3(5a+12b) - 5(3a+7b) = 15a+36b - 15a - 35b = b$

したがって、dは-aとbを割り切ります。

aとbは互いに素なので、d=1しかありえません。

しかし、問題文の形式から1でないことがわかります。

$5a+12b = xd$

$3a+7b = yd$

$7(5a+12b) - 12(3a+7b) = 35a+84b - 36a-84b = -a = (7x-12y)d$

$3(5a+12b) - 5(3a+7b) = 15a+36b-15a-35b = b = (3x-5y)d$

dはaとbを割るので, aとbが互いに素であることからdは1です。

しかし、最大公約数は常に正なので、$d=1$。

しかし、問題文に数字を埋める形式であるため、1ではありません。

$d$は$5a+12b$と$3a+7b$の最大公約数であり、a,bは互いに素な自然数です。

連立方程式のようにして、aとbを消去します。

$7(5a+12b) - 12(3a+7b) = -a$

$3(5a+12b) - 5(3a+7b) = b$

したがって、最大公約数はa,bの約数である必要があります。a,bが互いに素であることから、最大公約数は1であるはずですが、問題形式がおかしいです。

仮にa=1, b=1として計算すると、5+12 = 17, 3+7 = 10。最大公約数は1

仮にa=1, b=2として計算すると、5+24 = 29, 3+14 = 17。最大公約数は1

aとbが互いに素なので、線形結合で表現すると1になります。

しかし、問題形式からそうではないようなので、

$5a + 12b = 5a + 5b + 7b = 5(a+b) + 7b$

$3a+7b = 3a+3b+4b = 3(a+b) + 4b$

$5a + 12b - (3a+7b) = 2a+5b$

$2(3a+7b) - 3(2a+5b) = 6a+14b-6a-15b = -b$

$5(3a+7b) - 3(5a+12b) = 15a+35b - 15a - 36b = -b$

a,bが互いに素なので1でない場合、最大公約数が存在しない。

問題がおかしいですが、もし問題が$5x+12y$と$3x+7y$の最大公約数ならば、x,yが互いに素という条件から、最大公約数は1です。

$d|5a+12b, d|3a+7b$

$d|7(5a+12b) - 12(3a+7b) \implies d|-a \implies d|a$

$d|3(5a+12b) - 5(3a+7b) \implies d|b$

gcd(a,b) = 1なのでd=1しかない

もし問題が最大公約数「となりうる値」を求めるというならば、

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(3) nを7で割ると4余るので、$n \equiv 4 \pmod{7}$と表せる。

$n^{2034} \pmod{7}$を計算したい。

$4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^3 \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$4^3 \equiv 1 \pmod{7}$

$2034 = 3 \times 678$

$n^{2034} \equiv 4^{2034} \equiv (4^3)^{678} \equiv 1^{678} \equiv 1 \pmod{7}$

$n^{2034}$を7で割った余りは1です。

3. 最終的な答え

(1) 37

(2) 1

(3) 1