2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられた条件を満たす解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 異なる2つの正の解 (2) 異なる2つの負の解 (3) 異なる2つの解がともに2以下 (4) 1つの解は1より小さく、他の解は1より大きい

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられた条件を満たす解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 異なる2つの正の解

(2) 異なる2つの負の解

(3) 異なる2つの解がともに2以下

(4) 1つの解は1より小さく、他の解は1より大きい

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ条件を求める。

まず、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m+3) = 4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m-3)(m+1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$。

次に、2つの解の和 $\alpha + \beta > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2m$ なので、$-2m > 0$ から $m < 0$。

最後に、2つの解の積 $\alpha \beta > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より $\alpha \beta = 2m + 3$ なので、$2m + 3 > 0$ から $m > -\frac{3}{2}$。

以上の条件 $m < -1$ または $m > 3$, $m < 0$, $m > -\frac{3}{2}$ を全て満たす範囲は、$-\frac{3}{2} < m < -1$。

(2) 異なる2つの負の解を持つ条件を求める。

まず、判別式 $D > 0$ である必要があります。これは (1) と同じなので、$m < -1$ または $m > 3$。

次に、2つの解の和 $\alpha + \beta < 0$ である必要があります。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2m$ なので、$-2m < 0$ から $m > 0$。

最後に、2つの解の積 $\alpha \beta > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より $\alpha \beta = 2m + 3$ なので、$2m + 3 > 0$ から $m > -\frac{3}{2}$。

以上の条件 $m < -1$ または $m > 3$, $m > 0$, $m > -\frac{3}{2}$ を全て満たす範囲は、$m > 3$。

(3) 異なる2つの解がともに2以下である条件を求める。

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とします。

まず、判別式 $D > 0$ である必要があります。これは (1) と同じなので、$m < -1$ または $m > 3$。

軸 $x = -m$ が2以下である必要があります。つまり $-m \le 2$ より $m \ge -2$。

そして、$f(2) \ge 0$ である必要があります。

$f(2) = 2^2 + 2m(2) + 2m + 3 = 4 + 4m + 2m + 3 = 6m + 7 \ge 0$

$6m \ge -7$

$m \ge -\frac{7}{6}$

以上の条件 $m < -1$ または $m > 3$, $m \ge -2$, $m \ge -\frac{7}{6}$ を全て満たす範囲は、$-\frac{7}{6} \le m < -1$ または $m > 3$。

(4) 1つの解は1より小さく、他の解は1よりも大きい条件を求める。

$f(1) < 0$ である必要があります。

$f(1) = 1^2 + 2m(1) + 2m + 3 = 1 + 2m + 2m + 3 = 4m + 4 < 0$

$4m < -4$

$m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $m > 3$

(3) $-\frac{7}{6} \le m < -1$ または $m > 3$

(4) $m < -1$