## 問題の内容

## 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \sqrt{5} \cos \theta$ および $y = 2 \sin \theta - 1$ と表される楕円 $C$ について、以下の問いに答えます。

(1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表す。

(2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求める。

(3) $p > 1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求める。

## 解き方の手順

(1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表す

$\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{5}}$ および $\sin \theta = \frac{y+1}{2}$ である。

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$(\frac{y+1}{2})^2 + (\frac{x}{\sqrt{5}})^2 = 1$

$\frac{(y+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

(2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求める

接線の方程式を $y = kx + 3$ とおく。楕円の方程式に代入すると、

$\frac{(kx+3+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$\frac{(kx+4)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(kx+4)^2 + 4x^2 = 20$

$5(k^2x^2 + 8kx + 16) + 4x^2 = 20$

$5k^2x^2 + 40kx + 80 + 4x^2 = 20$

$(5k^2 + 4)x^2 + 40kx + 60 = 0$

判別式 $D = 0$ となれば良いので、

$D/4 = (20k)^2 - (5k^2 + 4)(60) = 0$

$400k^2 - 300k^2 - 240 = 0$

$100k^2 = 240$

$k^2 = \frac{240}{100} = \frac{12}{5}$

$k = \pm \sqrt{\frac{12}{5}} = \pm 2 \sqrt{\frac{3}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$

よって、接線の方程式は $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5} x + 3$

(3) $p > 1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求める

接線の方程式を $y = kx + p$ とおく。楕円の方程式に代入すると、

$\frac{(kx+p+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(kx+p+1)^2 + 4x^2 = 20$

$5(k^2x^2 + 2k(p+1)x + (p+1)^2) + 4x^2 = 20$

$5k^2x^2 + 10k(p+1)x + 5(p+1)^2 + 4x^2 = 20$

$(5k^2 + 4)x^2 + 10k(p+1)x + 5(p+1)^2 - 20 = 0$

判別式 $D = 0$ となれば良いので、

$D/4 = (5k(p+1))^2 - (5k^2 + 4)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$25k^2(p+1)^2 - (5k^2 + 4)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$25k^2(p+1)^2 - 25k^2(p+1)^2 + 100k^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$

$100k^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$

$5k^2 - (p+1)^2 + 4 = 0$

$k^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$

2本の接線が直交するので、2つの傾き $k_1, k_2$ に対して $k_1 k_2 = -1$ が成り立つ。

2次方程式 $5k^2 - (p+1)^2 + 4 = 0$ の2解の積は、$k^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$ であり、$k_1^2k_2^2=1$を満たす。

$\frac{(p+1)^2 - 4}{5} = -1$は条件を満たさない。

したがって接線の方程式は、$k$ の2次方程式ではなく、$k_1k_2=-1$は成り立たない.

円の場合と楕円の場合で考え方を変える必要がある.

点 $(0,p)$ を通る直線 $y=mx+p$ が楕円 $\frac{x^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1$ に接するとすると、

$\frac{x^2}{5}+\frac{(mx+p+1)^2}{4}=1$

$4x^2+5(mx+p+1)^2=20$

$(4+5m^2)x^2+10m(p+1)x+5(p+1)^2-20=0$

判別式 $D=0$ から、 $D/4 = 25m^2(p+1)^2-(4+5m^2)(5(p+1)^2-20) = 0$

$25m^2(p+1)^2 - 20(p+1)^2 + 80 - 25m^2(p+1)^2+100m^2 = 0$

$100m^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$

$5m^2 - (p+1)^2 + 4 = 0$

$m^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$

直交する条件から $m_1m_2 = -1$

したがって、 $m_1^2m_2^2 = 1$ より、 $(\frac{(p+1)^2 - 4}{5})^2 = 1$

$(p+1)^2 - 4 = \pm 5$

$(p+1)^2 = 9, -1$

$(p+1)^2 = 9$ より $p+1 = \pm 3$

$p = 2, -4$

$p > 1$ より、 $p=2$

## 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2) $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5} x + 3$

(3) $p = 2$