与えられた2つの関数について、それぞれの極値を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = (1 + \cos x) \sin x$, 定義域は $0 \le x \le 2\pi$ (2) $y = (x+1)e^x$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、それぞれの極値を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$, 定義域は $0 \le x \le 2\pi$

(2) $y = (x+1)e^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$, $0 \le x \le 2\pi$

まず、導関数を計算します。

$y' = (-\sin x)\sin x + (1+\cos x)\cos x$

$y' = -\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x$

$y' = \cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x)$

$y' = \cos x + \cos 2x$

$y' = \cos x + 2\cos^2 x - 1$

$y' = 2\cos^2 x + \cos x - 1$

$y' = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2\cos x - 1 = 0$ または $\cos x + 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$

$0 \le x \le 2\pi$ において、

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos x = -1$ のとき、$x = \pi$

増減表を作ります。

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{3}$ | ... | $\pi$ | ... | $\frac{5\pi}{3}$ | ... | $2\pi$ |

| -------- | ----- | ------- | ---------------- | -------- | ------ | -------- | ----------------- | -------- | ------- |

| y' | | + | 0 | - | 0 | + | 0 | + | |

| y | 0 | ↑ | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | ↓ | 0 | ↑ | $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | ↑ | 0 |

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = (1 + \frac{1}{2})\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (極大)

$x = \pi$ のとき、$y = (1 + \cos \pi)\sin \pi = (1-1) \cdot 0 = 0$

$x = \frac{5\pi}{3}$ のとき、$y = (1 + \cos \frac{5\pi}{3})\sin \frac{5\pi}{3} = (1 + \frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (極小)

(2) $y = (x+1)e^x$

$y' = (1)e^x + (x+1)e^x = e^x + xe^x + e^x = (x+2)e^x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x+2)e^x = 0$

$e^x > 0$ より、 $x + 2 = 0$ なので $x = -2$

増減表を作ります。

| x | | ... | -2 | ... | |

| -------- | ----- | -------- | -- | -------- | ----- |

| y' | | - | 0 | + | |

| y | | ↓ | $-e^{-2}$ | ↑ | |

$x = -2$ のとき、$y = (-2+1)e^{-2} = -e^{-2}$ (極小)

極大値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

極大値: $x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

極小値: $x = \frac{5\pi}{3}$ のとき $y = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) $y = (x+1)e^x$

極小値: $x = -2$ のとき $y = -e^{-2} = -\frac{1}{e^2}$

極大値はなし