(1) 定積分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求めよ。 (2) 不等式 $\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求めよ。

(2) 不等式 $\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算する。

$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$ であるから、$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$ である。

したがって、

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}

$$$$

(2)

$\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ を示す。

まず、$\int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ を示す。

$x \in [0, 1]$ であり、$1+x^4 > 1$ であるから、$\frac{1}{1+x^4} < 1$ である。

したがって、

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\int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1

$$$$

次に、$\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx$ を示す。

$x \in [0, 1]$ において、$x^4 < x^2$ であるから、$1+x^4 < 1+x^2$。

したがって、$\frac{1}{1+x^2} < \frac{1}{1+x^4}$。

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx

$$$$

(1)の結果より、$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}$ であるから、

$$$$

\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx

$$$$

よって、$\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ が成り立つ。