$abc = 1$ のとき、$\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$abc = 1$ のとき、$\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を$S$とおきます。

$S = \frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1}$

$abc = 1$より、$c = \frac{1}{ab}$となります。

この$c$を$S$の第3項に代入します。

$\frac{1}{ca+c+1} = \frac{1}{\frac{a}{ab}+\frac{1}{ab}+1} = \frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}+1} = \frac{b}{1+\frac{1}{a}+b} = \frac{ab}{a+1+ab}$

したがって、

$S = \frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{ab}{ab+a+1}$

次に、$\frac{1}{bc+b+1}$の分母に$a$をかけます。

$\frac{1}{bc+b+1} = \frac{a}{abc+ab+a} = \frac{a}{1+ab+a}$

したがって、

$S = \frac{1}{ab+a+1} + \frac{a}{ab+a+1} + \frac{ab}{ab+a+1}$

$S = \frac{1+a+ab}{ab+a+1}$

$S = 1$

3. 最終的な答え

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