直線 $l: y = x + 7$ と直線 $m: y = -2x + 4$ がある。 直線 $l$ と $m$ の交点を A、直線 $l$ と x 軸の交点を C、直線 $m$ と x 軸の交点を B とする。 (i) 点 A の座標を求めよ。 (ii) 三角形 ABC の面積を求めよ。 (iii) 直線 $x = t$ が三角形 ABC の面積を二等分するとき、$t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 7$ と直線 $m: y = -2x + 4$ がある。

直線 $l$ と $m$ の交点を A、直線 $l$ と x 軸の交点を C、直線 $m$ と x 軸の交点を B とする。

(i) 点 A の座標を求めよ。

(ii) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(iii) 直線 $x = t$ が三角形 ABC の面積を二等分するとき、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 点 A の座標を求める。

点 A は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = x + 7$

$y = -2x + 4$

$x + 7 = -2x + 4$

$3x = -3$

$x = -1$

$y = -1 + 7 = 6$

よって、点 A の座標は $(-1, 6)$ である。

(ii) 三角形 ABC の面積を求める。

点 B は直線 $m: y = -2x + 4$ と x 軸との交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = -2x + 4$ より $x = 2$。よって、B の座標は $(2, 0)$ である。

点 C は直線 $l: y = x + 7$ と x 軸との交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = x + 7$ より $x = -7$。よって、C の座標は $(-7, 0)$ である。

BC の長さは $2 - (-7) = 9$ である。

三角形 ABC の高さは点 A の y 座標である 6 である。

よって、三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ である。

(iii) 直線 $x = t$ が三角形 ABC の面積を二等分するときの $t$ の値を求める。

直線 $x=t$ と直線 $l$ の交点を D、直線 $m$ の交点を E とすると、D の座標は $(t, t+7)$、E の座標は $(t, -2t+4)$。

線分 DE の長さは $(t+7) - (-2t+4) = 3t + 3$ である。

C の x 座標は -7、B の x 座標は 2 なので、

-7 < t < 2

直線 $x=t$ が三角形 ABC の面積を二等分するとき、三角形 CDE の面積は三角形 ABC の面積の半分、つまり 27/2 になる。

三角形 CDE の面積は $\frac{1}{2} \times (t - (-7)) \times (3t + 3) = \frac{1}{2} (t+7)(3t+3)$。

$\frac{1}{2} (t+7)(3t+3) = \frac{27}{2}$

$(t+7)(3t+3) = 27$

$3t^2 + 24t + 21 = 27$

$3t^2 + 24t - 6 = 0$

$t^2 + 8t - 2 = 0$

$t = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2}$

$-7 < t < 2$ より、$t = -4 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(i) 点 A の座標: $(-1, 6)$

(ii) 三角形 ABC の面積: 27

(iii) $t$ の値: $-4 + 3\sqrt{2}$