3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求め、残りの解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求め、残りの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式の係数が実数であることから、複素数解の共役複素数も解となることを利用します。

* **ア:** $\alpha = -1-i$ が解なので、共役複素数 $\bar{\alpha} = -1+i$ も解となります。

* $g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ を計算します。

$g(x) = (x - (-1-i))(x - (-1+i)) = (x+1+i)(x+1-i) = (x+1)^2 - i^2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2$

* **イ:** 2, **ウ:** 2

* $x^3 + ax^2 + b$ を $g(x) = x^2 + 2x + 2$ で割ります。

$x^3 + ax^2 + b = (x^2+2x+2)(x + a - 2) + (-2a + 4)x + (b-2a+4)$

* $x^3+ax^2+b = g(x) \{ x + (a-2) \} + \{(-2a+4)x+(b-2a+4)\}$

* **エ:** $a-2$

* $x^3 + ax^2 + b$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは0となります。したがって、$-2a+4=0$ かつ $b-2a+4=0$ が成立します。

* $-2a+4=0$より、$a=2$

* $b-2a+4=0$に$a=2$を代入すると、$b-2*2+4=0$となり、$b=0$

* **オ:** $-2a+4$ = 0 なので、0

* **カ:** $b-2a+4$ = 0 なので、0

* **キ:** $a=2$

* **ク:** $b=0$

* 3次方程式の解は、$x = \alpha, \bar{\alpha}, -(a-2)$です。

$a = 2$ なので、$-(a-2) = -(2-2) = 0$

3. 最終的な答え

ア: -1+i

イ: 2

ウ: 2

エ: a-2

オ: 0

カ: 0

キ: 2

ク: 0

ケ: 0

したがって、3次方程式の解は $x = -1-i, -1+i, 0$ です。