3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $x = -1 - i$ を解に持つとき、以下の値を求める問題です。 * $\bar{\alpha}$ * $g(x)$ の式 * $x^3 + ax^2 + b$ を $g(x)$ で割ったときの商と余り * $a, b$ の値 * 残りの解

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $x = -1 - i$ を解に持つとき、以下の値を求める問題です。

* $\bar{\alpha}$

* $g(x)$ の式

* $x^3 + ax^2 + b$ を $g(x)$ で割ったときの商と余り

* $a, b$ の値

* 残りの解

2. 解き方の手順

* $\alpha = -1 - i$ とおくと、方程式の係数が実数なので、$\bar{\alpha} = -1 + i$ も解になります。

* $g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ を計算します。

$g(x) = (x - (-1 - i))(x - (-1 + i)) = (x + 1 + i)(x + 1 - i) = (x + 1)^2 - (i)^2 = x^2 + 2x + 1 - (-1) = x^2 + 2x + 2$

* $x^3 + ax^2 + b$ を $g(x) = x^2 + 2x + 2$ で割ります。商を $x + q$、余りを $rx + s$ とおくと、

$x^3 + ax^2 + b = (x^2 + 2x + 2)(x + q) + rx + s$

$x^3 + ax^2 + b = x^3 + (q + 2)x^2 + (2q + 2)x + 2q + rx + s$

$x^3 + ax^2 + b = x^3 + (q + 2)x^2 + (2q + r + 2)x + (2q + s)$

係数を比較すると、$a = q + 2$, $0 = 2q + r + 2$, $b = 2q + s$

* $x^3 + ax^2 + b$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは 0 です。したがって、$rx + s = 0$ より、$r = 0, s = 0$。

$0 = 2q + r + 2$ より $2q + 2 = 0$ なので、$q = -1$

$a = q + 2$ より $a = -1 + 2 = 1$

$b = 2q + s$ より $b = 2(-1) + 0 = -2$

* よって、方程式は $x^3 + x^2 - 2 = 0$ となります。

割り切れるので、$x^3 + x^2 - 2 = (x^2 + 2x + 2)(x - 1) = 0$

したがって、$x = 1, -1 - i, -1 + i$ が解です。

3. 最終的な答え

* ア: -1 + i

* イ: 2

* ウ: 2

* エ: -1

* オ: 0

* カ: 0

* キ: 1

* ク: -2

* ケ: 1