2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 7$ について、以下の問いに答えます。 (i) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。 (ii) $f(0) = f(a)$ であるとき、正の定数 $a$ の値を求めます。 (iii) $a$ は(ii)で求めた値より大きいとします。 $0 \le x \le a$ において、関数 $f(x)$ の最大値が10であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 7$ について、以下の問いに答えます。

(i) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。

(ii) $f(0) = f(a)$ であるとき、正の定数 $a$ の値を求めます。

(iii) $a$ は(ii)で求めた値より大きいとします。 $0 \le x \le a$ において、関数 $f(x)$ の最大値が10であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 4x + 7 = 2(x^2 - 2x) + 7 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 2((x-1)^2 - 1) + 7 = 2(x-1)^2 - 2 + 7 = 2(x-1)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(1, 5)$ です。

(ii) $f(0) = f(a)$ を解きます。

$f(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 7 = 7$

$f(a) = 2a^2 - 4a + 7$

$f(0) = f(a)$ より $7 = 2a^2 - 4a + 7$

$2a^2 - 4a = 0$

$2a(a-2) = 0$

$a = 0$ または $a = 2$

$a$ は正の定数なので、$a = 2$ です。

(iii) $a$ は(ii)で求めた値 $2$ より大きいので、$a > 2$ です。$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が10であるとき、$a$ の値を求めます。

$f(x) = 2(x-1)^2 + 5$ は $x=1$ で最小値5をとります。

定義域 $0 \le x \le a$ で、$a > 2$ なので、$f(x)$ は $x=0$ または $x=a$ で最大値を取ります。

$f(0) = 7$

$f(a) = 2a^2 - 4a + 7$

$f(a) = 10$ となる $a$ を探します。

$2a^2 - 4a + 7 = 10$

$2a^2 - 4a - 3 = 0$

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

$a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ または $a = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$

$a > 0$ より、$a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ であり、$a > 2$ も満たします。

$f(0) = 7 < 10$, $f(a)=10$ なので、$f(0)$ が最大値ということはありません。

したがって、$f(a) = 10$ となる $a$ の値を求めれば良い。

$a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(i) 頂点：$(1, 5)$

(ii) $a = 2$

(iii) $a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$