次の不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx$ (2) $\int \frac{dx}{\cos^4 x}$ (3) $\int \frac{dx}{\cos x}$ (4) $\int \frac{dx}{1 - \sin x}$ (5) $\int \tan^4 x dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx$

(2) $\int \frac{dx}{\cos^4 x}$

(3) $\int \frac{dx}{\cos x}$

(4) $\int \frac{dx}{1 - \sin x}$

(5) $\int \tan^4 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx = \int \frac{-du}{u(u+1)} = -\int \frac{1}{u(u+1)} du = -\int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}) du = -(\ln|u| - \ln|u+1|) + C = -\ln|\cos x| + \ln|\cos x + 1| + C = \ln|\frac{\cos x + 1}{\cos x}| + C = \ln|1 + \frac{1}{\cos x}| + C = \ln|1 + \sec x| + C$

(2) $\int \frac{dx}{\cos^4 x}$

$\int \frac{1}{\cos^4 x} dx = \int \sec^4 x dx = \int \sec^2 x \sec^2 x dx = \int (1 + \tan^2 x) \sec^2 x dx$

$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ となります。

したがって、$\int (1 + \tan^2 x) \sec^2 x dx = \int (1 + u^2) du = u + \frac{u^3}{3} + C = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$

(3) $\int \frac{dx}{\cos x}$

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{du}{1 - u^2} = \int \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} du = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}) du = \frac{1}{2} (-\ln|1 - u| + \ln|1 + u|) + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{1 + u}{1 - u}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x}| + C = \ln|\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C = \ln|\sec x + \tan x| + C$

(4) $\int \frac{dx}{1 - \sin x}$

$\int \frac{1}{1 - \sin x} dx = \int \frac{1 + \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} dx = \int \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}) dx = \int \sec^2 x dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

$\int \sec^2 x dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \tan x + \int \frac{-du}{u^2} = \tan x + \frac{1}{u} + C = \tan x + \frac{1}{\cos x} + C = \tan x + \sec x + C$

(5) $\int \tan^4 x dx$

$\int \tan^4 x dx = \int \tan^2 x \tan^2 x dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \tan^2 x dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx$

$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ となります。

$\int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx = \int u^2 du - (\tan x - x) = \frac{u^3}{3} - \tan x + x + C = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln|1 + \sec x| + C$

(2) $\tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$

(3) $\ln|\sec x + \tan x| + C$

(4) $\tan x + \sec x + C$

(5) $\frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$