## 問題の回答

## 問題の回答

提示された画像には複数の問題が含まれています。ここでは、4番の問題を解きます。

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1. 問題の内容

以下の複素関数の極限値を求める問題です。極限が存在する場合は、その値を求めます。

(1) $\lim_{z \to 2} \frac{z^2 - 3z + 2}{z - 2}$

(2) $\lim_{z \to -i} \frac{2}{1 + z^2}$

(3) $\lim_{z \to 0} \frac{|z|}{z}$

(4) $\lim_{z \to i} \frac{2z^2 - 4}{3 + 2z + 3z^2}$

(5) $\lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z}$

(6) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y + ixy^2}{x^3 - iy^3}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{z \to 2} \frac{z^2 - 3z + 2}{z - 2}$**

まず、分子を因数分解します。

$z^2 - 3z + 2 = (z - 1)(z - 2)$

したがって、

$\lim_{z \to 2} \frac{(z - 1)(z - 2)}{z - 2} = \lim_{z \to 2} (z - 1) = 2 - 1 = 1$

**(2) $\lim_{z \to -i} \frac{2}{1 + z^2}$**

まず、分母を因数分解します。

$1 + z^2 = (1 + iz)(1 - iz) = (i + z)(-i +z) (-i) i = (z+i) (z-i)$

よって、

$\lim_{z \to -i} \frac{2}{1 + z^2} = \lim_{z \to -i} \frac{2}{(z + i)(z - i)}$.

この極限は発散します。なぜなら、z が -i に近づくと分母は 0 に近づき、分子は 2 であるため、極限値は存在しません。

**(3) $\lim_{z \to 0} \frac{|z|}{z}$**

$z = re^{i\theta}$ と表現すると、$|z| = r$ となります。

$\frac{|z|}{z} = \frac{r}{re^{i\theta}} = e^{-i\theta}$

この極限は、$\theta$の値に依存して異なる値を取り得るので、極限は存在しません。例えば$z = x$に沿って0に近づくと、値は1に近づき、$z = ix$に沿って0に近づくと、値は$-i$に近づきます。

**(4) $\lim_{z \to i} \frac{2z^2 - 4}{3 + 2z + 3z^2}$**

$z = i$を代入します。

$\frac{2i^2 - 4}{3 + 2i + 3i^2} = \frac{2(-1) - 4}{3 + 2i + 3(-1)} = \frac{-6}{2i} = \frac{-3}{i} = \frac{-3i}{i^2} = 3i$

**(5) $\lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z}$**

$z = x + iy$とすると、$Re(z) = x$です。

$\frac{Re(z)}{z} = \frac{x}{x + iy}$

この極限は、近づき方によって異なります。たとえば、$z = x$に沿って0に近づくと、値は1に近づき、$z = iy$に沿って0に近づくと、値は0に近づきます。したがって、極限は存在しません。

**(6) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y + ixy^2}{x^3 - iy^3}$**

$\frac{x^2y + ixy^2}{x^3 - iy^3} = \frac{xy(x + iy)}{(x - iy)(x^2 + ixy - y^2)} = \frac{xy(x + iy)}{x^3 - iy^3}$

分母を因数分解します。

$x^3 - iy^3 = (x-iy)(x^2 + ixy + (iy)^2)$

この極限は、近づき方によって異なります。$x = y$に沿って0に近づくと

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2x + ix x^2}{x^3 - ix^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + ix^3}{x^3 - ix^3} = \frac{1 + i}{1 - i} = i$

また、$x = 0$に沿って近づくと、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{0}{-iy^3} = 0$.

極限は存在しません。

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3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 極限は存在しない

(3) 極限は存在しない

(4) 3i

(5) 極限は存在しない

(6) 極限は存在しない