与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x}

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2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形であるため、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理を適用すると、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子を微分すると、

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\frac{d}{dx} (e^x + e^{-x} - 2) = e^x - e^{-x}

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分母を微分すると、

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\frac{d}{dx} (x) = 1

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したがって、ロピタルの定理を適用すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1}

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$x=0$ を代入すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1} = \frac{e^0 - e^{-0}}{1} = \frac{1 - 1}{1} = 0

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あるいは、$e^x$ のテイラー展開を利用することもできます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

したがって、

$e^x + e^{-x} = 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + ... = 2 + x^2 + \frac{x^4}{12} + ...$

したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^4}{12} + ...}{x} = \lim_{x \to 0} (x + \frac{x^3}{12} + ...) = 0

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3. 最終的な答え

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