三角形ABCにおいて、$\sin B = \frac{2}{3}$、CA=4のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin B = \frac{2}{3}$、CA=4のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解きます。

正弦定理とは、三角形ABCにおいて、各辺の長さをa, b, c、それぞれの対角の大きさをA, B, Cとしたとき、以下の式が成り立つというものです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、Rは外接円の半径です。

問題文より、$\sin B = \frac{2}{3}$、CA=4なので、b = 4です。

したがって、正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{b}{2\sin B}$

上記の式に、b=4, $\sin B = \frac{2}{3}$を代入すると、

$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$

3. 最終的な答え

外接円の半径は3です。