底の変換公式を使って、与えられた対数の式を簡単にせよという問題です。具体的には、(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$, (4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$, (5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$, (6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$ の4つの式を計算します。

1. 問題の内容

底の変換公式を使って、与えられた対数の式を簡単にせよという問題です。具体的には、(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$, (4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$, (5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$, (6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$ の4つの式を計算します。

2. 解き方の手順

(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$

まず、$\sqrt[3]{125} = 5$ であることに注意します。したがって、

$\log_{\frac{1}{5}} 5$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$ なので、$\log_{5^{-1}} 5 = x$ とおくと、$(5^{-1})^x = 5$ となり、$5^{-x} = 5^1$。よって、$-x = 1$ から $x = -1$。

(4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$

底の変換公式を使うと、$\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$ となります。したがって、

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$

(5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$

底の変換公式を使うと、$\log_5 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 5}$ となります。したがって、

$\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 9}{\log_3 5} = \log_3 9$

ここで、 $9 = 3^2$ なので、$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$

底の変換公式を使うと、$\log_5 8 = \frac{\log_4 8}{\log_4 5}$ となります。したがって、

$\log_4 5 \cdot \log_5 8 = \log_4 5 \cdot \frac{\log_4 8}{\log_4 5} = \log_4 8$

ここで、$4 = 2^2$ であり、$8 = 2^3$ なので、$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(3) -1

(4) 1

(5) 2

(6) $\frac{3}{2}$