底の変換公式を用いて、与えられた対数の式を簡単にすること。今回は問題番号(3), (4), (5), (6)を解きます。

1. 問題の内容

底の変換公式を用いて、与えられた対数の式を簡単にすること。今回は問題番号(3), (4), (5), (6)を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[5]{125}$

まず、$\sqrt[5]{125}$を簡単にします。$125 = 5^3$なので、

$\sqrt[5]{125} = \sqrt[5]{5^3} = 5^{\frac{3}{5}}$

次に、$\frac{1}{5}$を$5$の指数で表します。$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

よって、

$\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[5]{125} = \log_{5^{-1}}5^{\frac{3}{5}}$

対数の性質 $\log_{a^m}b^n = \frac{n}{m}\log_ab$ を用いると、

$\log_{5^{-1}}5^{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{-1}\log_55 = -\frac{3}{5}\log_55$

$\log_55 = 1$ なので、

$-\frac{3}{5}\log_55 = -\frac{3}{5}$

(4) $\log_23 \cdot \log_32$

底の変換公式 $\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}$ を用いて、$\log_32$ を底が2の対数で表すと、

$\log_32 = \frac{\log_22}{\log_23} = \frac{1}{\log_23}$

よって、

$\log_23 \cdot \log_32 = \log_23 \cdot \frac{1}{\log_23} = 1$

(5) $\log_35 \cdot \log_59$

底の変換公式 $\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}$ を用いて、$\log_59$を底が3の対数で表すと、

$\log_59 = \frac{\log_39}{\log_35}$

ここで、$9 = 3^2$ なので、$\log_39 = \log_33^2 = 2\log_33 = 2$

よって、

$\log_59 = \frac{2}{\log_35}$

したがって、

$\log_35 \cdot \log_59 = \log_35 \cdot \frac{2}{\log_35} = 2$

(6) $\log_45 \cdot \log_58$

底の変換公式 $\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}$ を用いて、$\log_45 \cdot \log_58 = \frac{\log_25}{\log_24} \cdot \frac{\log_28}{\log_25}$。

$\log_24 = 2$, $\log_28 = 3$ なので、

$\frac{\log_25}{2} \cdot \frac{3}{\log_25} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $-\frac{3}{5}$

(4) $1$

(5) $2$

(6) $\frac{3}{2}$