問題は、次の5つの小問から構成されています。 (2) $x = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$のときの$x+y$、$xy$、$x^2+y^2$の値を求める。 (3) $a$を実数とするとき、$A = \sqrt{4a^2-4a+1} + |a+1|$を簡単にし、$a$の値の範囲によって、$A$を3つの場合に分けて表す。 (4) 2つの不等式$3-4x < 8x+5$、$-2x+3 \leq 3x+8 < 6x-4$を解く。 (5) 連立不等式 $ \begin{cases} 5x-8 > 2x+1 \\ x+3 \geq 3x-a \end{cases} $ を満たす整数$x$がちょうど4個存在するように、定数$a$のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は、次の5つの小問から構成されています。

(2) $x = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$のときの$x+y$、$xy$、$x^2+y^2$の値を求める。

(3) $a$を実数とするとき、$A = \sqrt{4a^2-4a+1} + |a+1|$を簡単にし、$a$の値の範囲によって、$A$を3つの場合に分けて表す。

(4) 2つの不等式$3-4x < 8x+5$、$-2x+3 \leq 3x+8 < 6x-4$を解く。

(5) 連立不等式

$$

\begin{cases}

5x-8 > 2x+1 \\

x+3 \geq 3x-a

\end{cases}

$$

を満たす整数$x$がちょうど4個存在するように、定数$a$のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$x+y$を計算します。

$x+y = \frac{1}{\sqrt{5}+2} + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{2\sqrt{5}}{5-4} = 2\sqrt{5}$.

次に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{5-4} = 1$.

最後に、$x^2+y^2$を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{5})^2 - 2(1) = 20 - 2 = 18$.

(3)

$A = \sqrt{4a^2 - 4a + 1} + |a+1| = \sqrt{(2a-1)^2} + |a+1| = |2a-1| + |a+1|$.

$a > \frac{1}{2}$のとき、$2a-1 > 0$、$a+1 > 0$なので、$A = (2a-1) + (a+1) = 3a$.

$-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$ではありません。$-1 \leq a \leq \frac{1}{2}$のとき、$2a-1 \leq 0$、$a+1 \geq 0$なので、$A = -(2a-1) + (a+1) = -2a+1+a+1 = -a+2$.

$a < -1$のとき、$2a-1 < 0$、$a+1 < 0$なので、$A = -(2a-1) - (a+1) = -2a+1-a-1 = -3a$.

(4)

(1) $3-4x < 8x+5$より、$-2 < 12x$、$x > -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

(2) $-2x+3 \leq 3x+8 < 6x-4$より、

$-2x+3 \leq 3x+8$かつ$3x+8 < 6x-4$.

$-5 \leq 5x$より、$x \geq -1$.

$12 < 3x$より、$x > 4$.

よって、$x > 4$.

(5)

$$

\begin{cases}

5x-8 > 2x+1 \\

x+3 \geq 3x-a

\end{cases}

$$

より、

$$

\begin{cases}

3x > 9 \\

2x \leq a+3

\end{cases}

$$

$$

\begin{cases}

x > 3 \\

x \leq \frac{a+3}{2}

\end{cases}

$$

を満たす整数$x$がちょうど4個存在するため、$3 < x \leq \frac{a+3}{2}$.

$x = 4, 5, 6, 7$となるから、$7 \leq \frac{a+3}{2} < 8$.

$14 \leq a+3 < 16$.

$11 \leq a < 13$.

3. 最終的な答え

(2) ア：$2\sqrt{5}$、イ：1、ウ：18

(3) ア：$2a-1$、イ：$\frac{1}{2}$、ウ：$3a$、エ：$-1$、オ：$-a+2$、カ：$-3a$

(4) ア：$x > -\frac{1}{6}$、イ：$x > 4$

(5) ア：$11 \leq a < 13$