次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

次に、定数倍の性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は、1からnまでの自然数の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ を使います。

$\sum_{k=1}^{n} 4$ は、4をn回足し合わせるので、$4n$ となります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = 5 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 4n$

整理します。

$5 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 4n = \frac{5}{2}n(n+1) + 4n = \frac{5n(n+1) + 8n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 8n}{2} = \frac{5n^2 + 13n}{2} = \frac{n(5n+13)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{2}$