はい、承知いたしました。問題文の番号1,2,3について解答します。

はい、承知いたしました。問題文の番号1,2,3について解答します。

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1. 問題の内容**

関数 $y = ax + b$ （$-1 \le x \le 5$）の値域が $1 \le y \le 13$ となるとき、定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a < 0$ とする。

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2. 解き方の手順**

* **ステップ1: 関数の性質の利用**

$a < 0$ であるから、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。したがって、$x$ が最小のとき $y$ は最大、$x$ が最大のとき $y$ は最小となる。

よって、

* $x = -1$ のとき $y = 13$

* $x = 5$ のとき $y = 1$

* **ステップ2: 連立方程式の作成**

上記の情報を元に、次の連立方程式が得られる。

$13 = -a + b$

$1 = 5a + b$

* **ステップ3: 連立方程式を解く**

上記の連立方程式を解く。まず、上の式から下の式を引くと、

$12 = -6a$

$a = -2$

次に、$a = -2$ を上の式に代入すると、

$13 = -(-2) + b$

$13 = 2 + b$

$b = 11$

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3. 最終的な答え**

$a = -2$, $b = 11$

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1. 問題の内容**

次の2次関数のグラフをかけ。また、その頂点と軸を求めよ。

(1) $y=2x^2-4x+2$

(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+x-1$

(3) $y=(x-1)(x-2)$

(4) $y=(2x-1)(x+3)$

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2. 解き方の手順**

各関数について、平方完成を行い、頂点と軸を求める。

(1) $y=2x^2-4x+2$

$y = 2(x^2-2x) + 2$

$y = 2(x^2-2x+1-1) + 2$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 2$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 2$

$y = 2(x-1)^2$

頂点: $(1, 0)$

軸: $x = 1$

(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+x-1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2-2x) - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2-2x+1-1) - 1$

$y = -\frac{1}{2}((x-1)^2 - 1) - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2}$

頂点: $(1, -\frac{1}{2})$

軸: $x = 1$

(3) $y=(x-1)(x-2)$

$y = x^2 - 3x + 2$

$y = (x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$

軸: $x = \frac{3}{2}$

(4) $y=(2x-1)(x+3)$

$y = 2x^2 + 6x - x - 3$

$y = 2x^2 + 5x - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2) - 3$

$y = 2((x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{49}{8}$

頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$

軸: $x = -\frac{5}{4}$

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3. 最終的な答え**

(1) 頂点: $(1, 0)$, 軸: $x = 1$

(2) 頂点: $(1, -\frac{1}{2})$, 軸: $x = 1$

(3) 頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$, 軸: $x = \frac{3}{2}$

(4) 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$, 軸: $x = -\frac{5}{4}$

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1. 問題の内容**

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、次の問いに答えよ。

(1) この放物線の頂点の座標を求めよ。

(2) この放物線を、$x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順**

(1) **ステップ1: 平方完成**

与えられた放物線の方程式を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x-1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 3$

**ステップ2: 頂点の座標**

平方完成した式から、頂点の座標を読み取る。

頂点の座標は $(1, -3)$

(2) **ステップ1: 平行移動の公式**

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、移動後の放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となる。

**ステップ2: 移動後の放物線の方程式**

この問題では、$p = 2$, $q = -1$ であり、$f(x) = 2x^2 - 4x - 1$ であるから、移動後の放物線の方程式は、

$y - (-1) = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 7$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

または、平方完成した式を使う場合

$y - (-1) = 2((x - 2) - 1)^2 - 3$

$y + 1 = 2(x - 3)^2 - 3$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

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3. 最終的な答え**

(1) 頂点の座標: $(1, -3)$

(2) 移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$