(1) 実数 $k$ を定数とする。実数 $x$, $y$ が $x+2y=k$ を満たすとき、$x^2 + 2y^2$ の最小値を求めよ。 (2) 2変数関数 $f(x, y) = \frac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3}$ の最大値を求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

(1) 実数 $k$ を定数とする。実数 $x$, $y$ が $x+2y=k$ を満たすとき、$x^2 + 2y^2$ の最小値を求めよ。

(2) 2変数関数 $f(x, y) = \frac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3}$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

制約条件 $x + 2y = k$ より、$x = k - 2y$ と表せる。

これを $x^2 + 2y^2$ に代入すると、

$(k - 2y)^2 + 2y^2 = k^2 - 4ky + 4y^2 + 2y^2 = 6y^2 - 4ky + k^2$ となる。

これを $y$ について平方完成すると、

$6(y^2 - \frac{2k}{3}y) + k^2 = 6(y - \frac{k}{3})^2 - 6(\frac{k}{3})^2 + k^2 = 6(y - \frac{k}{3})^2 - \frac{2k^2}{3} + k^2 = 6(y - \frac{k}{3})^2 + \frac{k^2}{3}$ となる。

$6(y - \frac{k}{3})^2 \ge 0$ であるから、$y = \frac{k}{3}$ のとき、最小値 $\frac{k^2}{3}$ をとる。

(2)

$f(x,y) = \frac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3}$ の最大値を求める。

$x+2y = k$ と置くと、$f(x,y) = \frac{k+3}{x^2+2y^2+3}$ となる。

(1)より、$x^2 + 2y^2 \ge \frac{k^2}{3}$ であるから、

$x^2 + 2y^2 + 3 \ge \frac{k^2}{3} + 3$

よって、$f(x,y) = \frac{k+3}{x^2+2y^2+3} \le \frac{k+3}{\frac{k^2}{3} + 3} = \frac{3(k+3)}{k^2+9}$ となる。

ここで、$g(k) = \frac{3(k+3)}{k^2+9}$ とおくと、

$g'(k) = \frac{3(k^2+9) - 3(k+3)(2k)}{(k^2+9)^2} = \frac{3k^2+27 - 6k^2 - 18k}{(k^2+9)^2} = \frac{-3k^2 - 18k + 27}{(k^2+9)^2} = \frac{-3(k^2+6k-9)}{(k^2+9)^2}$

$g'(k)=0$ となるのは、$k^2+6k-9=0$ のとき。

$k = \frac{-6 \pm \sqrt{36+36}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{2}$

$k=-3+3\sqrt{2}$ のとき、$g(k)$ は極大値をとり、

$g(-3+3\sqrt{2}) = \frac{3(-3+3\sqrt{2}+3)}{(-3+3\sqrt{2})^2+9} = \frac{9\sqrt{2}}{9 - 18\sqrt{2} + 18 + 9} = \frac{9\sqrt{2}}{36 - 18\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(4+2\sqrt{2})}{16-8} = \frac{4\sqrt{2}+4}{8} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$k=-3$のとき、$x^2+2y^2 \ge 3$

$f(x,y) = \frac{-3+3}{x^2+2y^2+3} = 0$

$x = y = 0$ は $x+2y=k$を満たさないので、k=-3は解とならない。

$g(k) = \frac{3(k+3)}{k^2+9}$のとき、$k = -3+3\sqrt{2}$で最大値 $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$となる。

$x+2y = -3+3\sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{-3+3\sqrt{2}}{3} = -1 + \sqrt{2}$

$x = -3+3\sqrt{2} - 2y = -3 + 3\sqrt{2} -2(-1+\sqrt{2}) = -3 + 3\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} = -1+\sqrt{2}$

$x = -1+\sqrt{2}, y = -1+\sqrt{2}$

$x^2 + 2y^2 = (-1+\sqrt{2})^2 + 2(-1+\sqrt{2})^2 = 3(-1+\sqrt{2})^2 = 3(1-2\sqrt{2}+2) = 3(3-2\sqrt{2}) = 9-6\sqrt{2}$

$f(x,y) = \frac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3} = \frac{-3+3\sqrt{2}+3}{9-6\sqrt{2}+3} = \frac{3\sqrt{2}}{12-6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(4-2)} = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{k^2}{3}$

(2) $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$