(1) $x^2 + 2x = a(x+3)^2 + b(x+3) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。 (2) $\frac{2x-1}{(x-1)x^2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) $x^2 + 2x = a(x+3)^2 + b(x+3) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

(2) $\frac{2x-1}{(x-1)x^2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2x = a(x+3)^2 + b(x+3) + c$ を展開して整理する。

$x^2 + 2x = a(x^2 + 6x + 9) + b(x+3) + c$

$x^2 + 2x = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c$

$x^2 + 2x = ax^2 + (6a+b)x + (9a+3b+c)$

両辺の係数を比較すると、

$a = 1$

$6a+b = 2$

$9a+3b+c = 0$

$a=1$ を $6a+b=2$ に代入すると、 $6+b=2$ より $b = -4$

$a=1$, $b=-4$ を $9a+3b+c=0$ に代入すると、 $9-12+c=0$ より $c=3$

(2) $\frac{2x-1}{(x-1)x^2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}$ の両辺に $(x-1)x^2$ をかける。

$2x-1 = a x^2 + b (x-1) x + c (x-1)$

$2x-1 = ax^2 + bx^2 - bx + cx - c$

$2x-1 = (a+b) x^2 + (-b+c) x - c$

両辺の係数を比較すると、

$a+b = 0$

$-b+c = 2$

$-c = -1$

よって $c = 1$

$-b+c = 2$ に $c=1$ を代入すると、 $-b+1=2$ より $b = -1$

$a+b=0$ に $b=-1$ を代入すると、$a-1=0$ より $a=1$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=-4$, $c=3$

(2) $a=1$, $b=-1$, $c=1$