与えられた複数の分数式の計算問題を解きます。具体的には、足し算や引き算を行い、式を簡略化します。以下、各問題ごとに解答します。 (1) $\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$ (2) $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$ (3) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3}$ (4) $\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)}$ (5) $\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3x+2}$ (6) $\frac{2}{x^2+2x} - \frac{1}{x^2+x}$ (7) $\frac{1}{x^2+x-2} + \frac{1}{x^2-x-6}$ (8) $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{2}{x^2+2x-24}$ (9) $\frac{2x+4}{x^2+4x+3} - \frac{x-6}{x^2-3x-18}$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた複数の分数式の計算問題を解きます。具体的には、足し算や引き算を行い、式を簡略化します。以下、各問題ごとに解答します。

(1) $\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$

(2) $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$

(3) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3}$

(4) $\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)}$

(5) $\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3x+2}$

(6) $\frac{2}{x^2+2x} - \frac{1}{x^2+x}$

(7) $\frac{1}{x^2+x-2} + \frac{1}{x^2-x-6}$

(8) $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{2}{x^2+2x-24}$

(9) $\frac{2x+4}{x^2+4x+3} - \frac{x-6}{x^2-3x-18}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

* 分母を因数分解する。

* 通分する。

* 分子を計算する。

* 式を簡略化する（約分など）。

**問題(1)**

$\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$

通分すると、分母は$6x$になる。

$\frac{3}{6x} + \frac{4}{6x} = \frac{3+4}{6x}$

**問題(2)**

$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$

通分すると、分母は$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$になる。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)+(x+1)}{x^2-1} = \frac{2x}{x^2-1}$

**問題(3)**

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3}$

通分すると、分母は$(x-1)(x+3)$になる。

$\frac{x+3}{(x-1)(x+3)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+3)} = \frac{(x+3)-(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{(x-1)(x+3)}$

**問題(4)**

$\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)}$

通分すると、分母は$x(x+3)$になる。

$\frac{2x}{x(x+3)} + \frac{3}{x(x+3)} = \frac{2x+3}{x(x+3)}$

**問題(5)**

$\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x^2+3x+2}$

分母を因数分解すると、$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

$\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{(x+1)(x+2)}$

通分すると、分母は$(x+1)(x+2)$になる。

$\frac{x(x+1)}{(x+1)(x+2)} - \frac{2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+x-2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2-x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x+2)}$

**問題(6)**

$\frac{2}{x^2+2x} - \frac{1}{x^2+x}$

分母を因数分解すると、$x^2+2x = x(x+2)$, $x^2+x = x(x+1)$

$\frac{2}{x(x+2)} - \frac{1}{x(x+1)}$

通分すると、分母は$x(x+1)(x+2)$になる。

$\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} - \frac{(x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2 - x -2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

**問題(7)**

$\frac{1}{x^2+x-2} + \frac{1}{x^2-x-6}$

分母を因数分解すると、$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$, $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$

$\frac{1}{(x+2)(x-1)} + \frac{1}{(x-3)(x+2)}$

通分すると、分母は$(x+2)(x-1)(x-3)$になる。

$\frac{x-3}{(x+2)(x-1)(x-3)} + \frac{x-1}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{(x-3)+(x-1)}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{2x-4}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-1)(x-3)}$

**問題(8)**

$\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{2}{x^2+2x-24}$

分母を因数分解すると、$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$, $x^2+2x-24 = (x+6)(x-4)$

$\frac{3}{(x-4)(x+3)} - \frac{2}{(x+6)(x-4)}$

通分すると、分母は$(x-4)(x+3)(x+6)$になる。

$\frac{3(x+6)}{(x-4)(x+3)(x+6)} - \frac{2(x+3)}{(x-4)(x+3)(x+6)} = \frac{3x+18 - 2x -6}{(x-4)(x+3)(x+6)} = \frac{x+12}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

**問題(9)**

$\frac{2x+4}{x^2+4x+3} - \frac{x-6}{x^2-3x-18}$

分母を因数分解すると、$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$, $x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

$\frac{2x+4}{(x+1)(x+3)} - \frac{x-6}{(x-6)(x+3)} = \frac{2x+4}{(x+1)(x+3)} - \frac{1}{x+3}$

通分すると、分母は$(x+1)(x+3)$になる。

$\frac{2x+4}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} = \frac{2x+4 -x -1}{(x+1)(x+3)} = \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{6x}$

(2) $\frac{2x}{x^2-1}$

(3) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}$

(4) $\frac{2x+3}{x(x+3)}$

(5) $\frac{x(x-1)}{(x+1)(x+2)}$

(6) $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(7) $\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-1)(x-3)}$

(8) $\frac{x+12}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

(9) $\frac{1}{x+1}$