次の等式を証明する。 (1) $a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ (2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する。

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$

(2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた条件 $a+b+c=0$ より、$c = -(a+b)$ である。

右辺を計算する。

$2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a) = 2a(a+b)+2b(b-(a+b))+2(-(a+b))(-(a+b)+a)$

$= 2a(a+b)+2b(-a)+2(-(a+b))(-b) = 2a^2+2ab-2ab+2b(a+b) = 2a^2+2ab-2ab+2ab+2b^2=2a^2+2b^2+2ab$

一方、左辺は

$a^2+b^2+c^2 = a^2+b^2+(-(a+b))^2 = a^2+b^2+(a+b)^2 = a^2+b^2+a^2+2ab+b^2 = 2a^2+2b^2+2ab$

したがって、左辺 = 右辺となり、等式は証明された。

(2)

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad=bc$ 。 $c=\frac{ad}{b}$

$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{(\frac{ad}{b})^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{\frac{a^2d^2}{b^2}+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{\frac{a^2d^2+2b^2d^2}{b^2}}{a^2+2b^2} = \frac{d^2(a^2+2b^2)}{b^2(a^2+2b^2)} = \frac{d^2}{b^2}$

$\frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2} = \frac{2(\frac{ad}{b})^2+d^2}{2a^2+b^2} = \frac{\frac{2a^2d^2}{b^2}+d^2}{2a^2+b^2} = \frac{\frac{2a^2d^2+b^2d^2}{b^2}}{2a^2+b^2} = \frac{d^2(2a^2+b^2)}{b^2(2a^2+b^2)} = \frac{d^2}{b^2}$

したがって、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$ となり、等式は証明された。

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ は、$a+b+c=0$ のとき成り立つ。

(2) $\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$ は、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき成り立つ。