次の4つの等式のうち、恒等式はどれか。 (1) $16x^2 - 9 = (4x+3)(4x-3)$ (2) $(x-1)(x+3) = x^2+2x+3$ (3) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ (4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{x(x+5)}$

1. 問題の内容

次の4つの等式のうち、恒等式はどれか。

(1) $16x^2 - 9 = (4x+3)(4x-3)$

(2) $(x-1)(x+3) = x^2+2x+3$

(3) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

(4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{x(x+5)}$

2. 解き方の手順

恒等式とは、変数にどのような値を代入しても等式が成り立つものである。各選択肢について検証する。

(1) $16x^2 - 9 = (4x+3)(4x-3)$

右辺を展開すると、 $(4x+3)(4x-3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$。これは左辺と等しいので、恒等式である。

(2) $(x-1)(x+3) = x^2+2x+3$

左辺を展開すると、 $(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$。これは右辺の$x^2 + 2x + 3$と等しくないので、恒等式ではない。

(3) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

左辺を展開すると、 $(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$。これは右辺と等しいので、恒等式である。

(4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{x(x+5)}$

左辺を通分すると、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{2x+5}{x(x+5)}$。これは右辺の$\frac{2}{x(x+5)}$と等しくないので、恒等式ではない。

3. 最終的な答え

恒等式は(1)と(3)である。