与えられた等式が $x$ についての恒等式となるような定数 $a, b, c$ の値を求めます。問題は4つの小問に分かれています。 (1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$ (2) $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ (3) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ (4) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるような定数 $a, b, c$ の値を求めます。問題は4つの小問に分かれています。

(1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$

(2) $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$

(3) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

(4) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$

2. 解き方の手順

各小問ごとに、恒等式の性質を利用して $a, b, c$ の値を求めます。恒等式では、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなります。また、適当な $x$ の値を代入して連立方程式を解く方法もあります。

(1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$ を展開すると、

$ax + 2a - bx + 2b = 4x$

$(a-b)x + (2a+2b) = 4x$

したがって、

$a-b = 4$

$2a+2b = 0$

2つ目の式より $a = -b$ なので、最初の式に代入して $-b - b = 4$ つまり $b = -2$。 よって $a = 2$。

(2) $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ を展開すると、

$x^3 + ax - 1 = x^3 + 2x^2 - bx^2 - 2bx + 6x + c$

$x^3 + ax - 1 = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$

したがって、

$2-b = 0$

$a = 6-2b$

$-1 = c$

$b=2$

$a=6-2(2)=2$

$c=-1$

(3) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ を展開すると、

$2x^2 + 1 = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c$

$2x^2 + 1 = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$

$2x^2 + 1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

したがって、

$a = 2$

$2a+b = 0$

$a+b+c = 1$

$a = 2$

$2(2)+b = 0$ より $b = -4$

$2 - 4 + c = 1$ より $c = 3$

(4) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$ を展開すると、

$ax^2 + bx + 3 = x^2 - 1 + c(x^2 + 4x + 4)$

$ax^2 + bx + 3 = x^2 - 1 + cx^2 + 4cx + 4c$

$ax^2 + bx + 3 = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

したがって、

$a = 1+c$

$b = 4c$

$3 = 4c-1$

$4c = 4$ より $c = 1$

$b = 4(1) = 4$

$a = 1+1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=-2$

(2) $a=2, b=2, c=-1$

(3) $a=2, b=-4, c=3$

(4) $a=2, b=4, c=1$