与えられた対数不等式を解く問題です。 (1) $\log_{10}x < 3$ (2) $\log_{\frac{1}{3}}x > 2$ (3) $\log_2(x+5) \leq 3$ (4) $\log_{\frac{1}{3}}(x-4) > -2$

1. 問題の内容

与えられた対数不等式を解く問題です。

(1) $\log_{10}x < 3$

(2) $\log_{\frac{1}{3}}x > 2$

(3) $\log_2(x+5) \leq 3$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(x-4) > -2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10}x < 3$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_{10}x < \log_{10}10^3$

$\log_{10}x < \log_{10}1000$

底が10で1より大きいので、

$x < 1000$

よって、$0 < x < 1000$

(2) $\log_{\frac{1}{3}}x > 2$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2$

$\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9}$

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、

$x < \frac{1}{9}$

よって、$0 < x < \frac{1}{9}$

(3) $\log_2(x+5) \leq 3$

真数条件より、$x+5 > 0$ すなわち $x > -5$。

$\log_2(x+5) \leq \log_22^3$

$\log_2(x+5) \leq \log_28$

底が2で1より大きいので、

$x+5 \leq 8$

$x \leq 3$

よって、$-5 < x \leq 3$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(x-4) > -2$

真数条件より、$x-4 > 0$ すなわち $x > 4$。

$\log_{\frac{1}{3}}(x-4) > \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-2}$

$\log_{\frac{1}{3}}(x-4) > \log_{\frac{1}{3}}9$

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、

$x-4 < 9$

$x < 13$

よって、$4 < x < 13$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 1000$

(2) $0 < x < \frac{1}{9}$

(3) $-5 < x \leq 3$

(4) $4 < x < 13$