与えられた複素数の計算問題を解く。 (1) $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$ (2) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ (3) $\left( \frac{4+3i}{1+2i} \right)^2$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解く。

(1) $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$

(2) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$

(3) $\left( \frac{4+3i}{1+2i} \right)^2$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$ を計算する。

まず、それぞれの分数を有利化する。

$\frac{3-i}{1-i} = \frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i - i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3+2i+1}{1+1} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$

$\frac{3+i}{1+i} = \frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 - 3i + i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - 2i + 1}{1+1} = \frac{4-2i}{2} = 2-i$

したがって、

$\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i} = (2+i) + (2-i) = 4$

(2) $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算する。

まず、それぞれの分数を有利化する。

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5-5i}{10} = \frac{1-i}{2}$

$\frac{5+10i}{1-3i} = \frac{(5+10i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{5 + 15i + 10i + 30i^2}{1 - 9i^2} = \frac{5 + 25i - 30}{1+9} = \frac{-25+25i}{10} = \frac{-5+5i}{2}$

したがって、

$\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i} = \frac{1-i}{2} - \frac{-5+5i}{2} = \frac{1-i+5-5i}{2} = \frac{6-6i}{2} = 3-3i$

(3) $\left( \frac{4+3i}{1+2i} \right)^2$ を計算する。

まず、$\frac{4+3i}{1+2i}$ を有利化する。

$\frac{4+3i}{1+2i} = \frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{4 - 8i + 3i - 6i^2}{1 - 4i^2} = \frac{4 - 5i + 6}{1+4} = \frac{10-5i}{5} = 2-i$

したがって、

$\left( \frac{4+3i}{1+2i} \right)^2 = (2-i)^2 = (2-i)(2-i) = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 3-3i

(3) 3-4i